[ مذاكرة جماعية ] : رياضيات-2 // المحاضرة العاشرة // الاشتقاق (التفاضل)

[أبان]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

قبل أن ندخل في التفاضل ( أو الاشتقاق ) لابد أن نفهم شيء اسمه معدل التغير للدالة.

و قبل ما نتعرف على الأخ / معدل التغير للدالة ، خلونا نتذكر شي سبق أخذناه وهو معدل التغير << سادة من دون شطة

معدل التغير مثل ما أخذناها في مقررات أخرى (مثل الاقتصاد الكلي) هو :

الفرق في A ÷ الفرق في B

يعني
دلتا A ÷ دلتا B


مثال :
و نحن ذاهبون إلى الصمان (أبوك يالفصحى) .... إذا تغير الوقت من 6 م إلى 7م
يتغير مقدار المسافة التي قطعناها في رحلتنا من 300 كم إلى 400 كم

كم معدل (متوسط) التغير في الزمن بالنسبة للمسافة ؟

الزمن تغير بمقدار ساعة وهو حاصل طرح 7 - 6 = 1 ساعة
المسافة تغيرات بمقدار 100 كم وهو حاصل طرح 400 - 300 = 100 كم

إذاً : متوسط (معدل) التغير للزمن بالنسبة للمسافة هو ساعة لكل 100كم



حلو

الحين تذكرنا معدل التغير .... و بنفس الفكرة نطبق على الدوال ..... عشان نعرف معدل التغير للدالة


إذا كانت الدالة

f(x) = x^2 + 2

و تغيرت قيمة x من 1 إلى 1,5 .... أوجد معدل التغير للدالة؟

أيوووووااااااه

نقسم
فرق التغير في ناتج الدالة عند القيمة الأولى لـ x عن ناتج الدالة عند القيمة الثانية لـ x
÷
فرق التغير في قيمة x الأولى من قيمة x الثانية




و صل الله و بارك ... الحين تعرفنا على الأخ / معدل التغير للدالة..... ولكن سؤال :




قبل شوي كنا نمشي 100 كم كل ساعة ، ولكن لو فرضنا ظهر فجأة في الطريق بعارين ؟

و حاولت تتفاداهن بشكل احترافي

بالتأكيد راح تربط فرامل بشكل مفاجئ .... << إنجز

أبد طال عمرك .... نبي نعرف بعد ما طلع علينا البعير بـ 3 ثوانٍ و 4596 جزء من الثانية كم كان معدل التغير في السرعة ؟ << معدل التغير حط تحتها ترليون خط ، يعني ما نبي السرعة نبي معدل التغير في السرعة


أهاااااااااااااا .... الحين جاء وقت الجد

يقول لك طال عمرك (على عمل صالح يا رب) لأجل أن نعرف معدل التغير في السرعة في هذه اللحظة من الزمن فلابد أن نطبق نفس القانون السابق <<< لا يا شيخ

والله أني صادق :)

بس مع تطبيق النهايات على معدل التغير للدالة(شوي تركيز لو سمحت ... الحين صرنا نتكلم عن 3 أشياء نهايات & معدل تغير & دالة ، كل واحد منهن بلون مختلف) يعني نجيب الفرق بين السرعة عند الزمن 6:45.9995500656698 و السرعة عند الزمن 6:45.9995500656697 ... يا ساتر

و الهدف هو أن يقترب معدل التغير في الزمن ( أي : معامل x) من صفر ( يعني قيمة دلتا x تؤول إلى صفر)



و هذا ما يعرف بالمشتقة


و هي : نهاية (حدود) معدل التغير في دالة عندما تؤول إلى صفر .


يعني نقتطع جزء صغير من دالة ثم نوجد معدل التغير لها .




وضحت فكرة البعير اللي خطم قبل شوي ؟



طيب ناخذ مثال آخر .... بس اتكيت هالمرة




الخط الأسود يمثل دالة ما ....

لو تتبعنا الدالة من اليسار إلى اليمين للاحظنا ميلان الخط (الدالة) بشكل بسيط وهو يصعد إلى الأعلى ، ثم إنحناء شديد حتى تتكون قمة ، ثم تعود الدالة للنزول للأسفل ويبدأ معدل الإنحناء يخف إلى أن يقترب من القاع فيبدأ الخط بالإنحناء الشديد مكونناً قاع .... وهكذا


الاشتقاق هو أخذ مقطع بسيط (متناهي الصغر) من هذه الدالة عند نقطة محددة (x مثلاً وهي الدائرة الحمراء الداكنة الصغيرة على الخط الأسود ) ثم معرفة ميلان (معدل التغير) الدالة عند هذه النقطة .



طيب غير جو مع هذه الدالة و كيف يتغير المماس (معدل تغير الدالة) مع تغير قيمة x

الدالة الأساسية هي :

f(x)= x * sin (x^2)+1

المشتقة :

f'(x) = sin(x^2)+ 2x^2 * cos(x^2)

اليوم فيه قرقر كثير




يتبع أعانكم الله


و الله تعالى أعلم ،،،

[أبان]

^^^^
جميع ما سبق هو من باب فهم التفاصيل .
و من لم يستوعب ، أو لا يهتم لفهم التفاصيل فبإمكانه تجاوز المشاركة الأولى


بعد ما عرفنا معدل التغير للدالة
و
عرفنا أن المشتقة (الأولى) هي نهاية معدل التغير في دالة عندما يؤول الفرق في x إلى صفر

فقط نوضح أن التفاضل هو عملية اشتقاق دالة ، ينتج عنها (أي عن عملية التفاضل) دالة مشتقة .


تم تعريف التفاضل في ويكيبيديا :
يعتمد التفاضل على إيجاد معادلة لإيجاد الميل عند نقطة معينة عن طريق تقليل الفرق بين التغير في قيم س إلى صفر تقريبا وهذا هو الاشتقاق

http://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%...A7%D8%B6%D9%84



قبل شوي قلنا المشتقة الأولى ، فهل هناك مشتقة ثانية و ثالثة ؟
نعم ، و رابعة و خامسة ...... إلى n
و سنأتي على المشتقات العليا في آخر المحاضرة بإذن الله .





و الآن بعدما عرفنا المشتقة نتناول جزء مهم في الاشتقاق و هو

:: جبر الاشتقاق ::

أي العمليات الجبرية على المشتقات . وهي على النحو التالي :

1/ إذا كانت y = X^n حيث أن الأس n هو عدد حقيقي .
فإن استخراج المشتقة الأولى يكون بـ :
أ/ طرح واحد من الأس n
ب/ ضرب n (قبل الطرح) كمعامل لـ x

مثال :
y = X^6

المشتقة الأولى
y = 6*X^5

طرحنا من الأس n واحد
و ضربنا x بقيمة الـ n قبل الطرح

^^^
ركز عليه واجد ... تراه أساس في مسائل أخرى


2 / إذا كانت y = c حيث أن c هو كمية ثابتة (يعني بدون متغير).
فإن استخراج المشتقة الأولى يكون بـ :
أ/ تحويل الحد إلى صفر

مثال :
y = 6

المشتقة الأولى
y = 0


3 / إذا كانت y = cX^n حيث أن الأس n هو عدد حقيقي و c كمية ثابتة
فإن استخراج المشتقة الأولى يكون بـ :
أ/ طرح واحد من الأس n
ب/ ضرب n (قبل الطرح) كمعامل لـ X مع ضربه بـ c

مثال :
y = 4*X^6

المشتقة الأولى
y = 6*4*X^5
y = 24 * X^5

طرحنا من الأس n واحد
و ضربنا X بقيمة الـ n قبل الطرح
و ضربنا X بقيمة الثابت c



يتبع بإذن الله ....

[w3oodi]

< شكلي وآنآ آقرا المحاضره
الله من الدجه عندي لي اسبوع اقول كل يوم بكرآ بذآكر

يعطيك العافيه أبان ماقصصصرت

[أبان]

4 / إذا كانت الدالة كثيرة حدود y = X^3 + X^4 + ....... + X^n

فإن استخراج المشتقة الأولى يكون بـ :
أ/ نعمل تفاضل لكل حد على حدة (مثلما فعلنا في الفقرة رقم 3)
ب/ الحد الذي يحتوي على عدد ثابت بدون معامل X يختفي


مثال :

  y = 4*X^6 + X^7

المشتقة الأولى

 y = 6*4*X^5  + 7*X^6
y = 24 * X^5  + 7*X^6

5/ إذا كانت الدالة مرفوعة للأس y = [f(X)]^n

فإن استخراج المشتقة الأولى يكون بـ :
أ/ نعمل تفاضل للدالة بشكل كامل
ب/ ثم نضرب في تفاضل المقدار داخل الأقواس .


مثال :

  y = (2 *X^2 + 5)^8

المشتقة الأولى

نفاضل الدالة ككل و نضرب في تفاضل المقدار داخل القوس :

  y = 8 *( 2 *X^2 + 5 )^7  * ( 4 *X + 0 )

y = 8 *( 2 *X^2 + 5  )^7 * 4X

 y = 32 X *( 2 *X^2 + 5  )^7

[أبان]

6/ إذا كانت الدالة عبارة عن ضرب دالتين

 y = [ f(x)*g(x) ]

فإن استخراج المشتقة الأولى يكون بـ :

أ/ ضرب مشتقة الدالة الأولى في الدالة الثانية
ثم نجمعه مع :
ب/ ضرب مشتقة الدالة الثانية في الدالة الأولى

 y = (x^2 + 1) * (2 x^3-2 )
 
y = (2x + 0) * (2 x^3-2 ) + (x^2 + 1) * (6 x^2-0 )

y = 2x * (2 x^3-2 ) + (x^2 + 1) * 6 x^2 )

y = 4 x^4 - 4x  + 6x^4 + 6 x^2

y = 10x^4 + 6 x^2  - 4x

[تلاوين الروح]

بالتوفيق ابان
:$

[MANSOUR]

لو سمحتم عند استفسار معدلي 2.86 ومنزل 17 ساعه هالترم لكني حاليا افكر انسحب من مقرر الرياضيات 2 لاني مو مستعد له وعندي مادة محاسبة واخاف ينزل المعدل

[أبان]

أخوي منصور

لا يخوفك الرياضيات .... تراه مسوي زحمة و الشارع فاضي

إلى المحاضرة العاشرة والأمور و لله الحمد تحت السيطرة .


ولكن هذا لا يعني أنك لا تبدأ من الآن بالجد و المذاكرة

[MANSOUR]

هو مقصدي ان معدلي نازل وماابغاه ينزل من المحاسبة والرياضيات 2 قلت لو اخذها الترم القادم ولا مو مستاهله

[أبان]

7 / إذا كانت الدالة عبارة عن قسمة دالتين

كود :

 y = [ f(x) ÷ g(x) ]

فإن استخراج المشتقة الأولى يكون بـ :

أ/ البسط :
(ضرب مشتقة دالة البسط * دالة المقام ) طرح (ضرب مشتقة دالة المقام * دالة البسط )

ج/ المقام :
مربع المقام



8 / قاعدة السلسلة

إذا كانت

f = z(g)

و كانت

g= y(x)

فهذا يعني أن العلاقة بين f و x ليست مباشرة و إنما عن طريق g

قانون السلسلة يقول ، أننا يمكن أن نوجد معدل التغير في f على x بهذا الشكل :