ملتقى طلاب وطالبات جامعة الملك فيصل,جامعة الدمام

::سلسلة من المربعات !!

إن المربعات التي طول ضلعها:

4 و 34 و 334 و 3334 و 33334 و ....

تمثل سلسلة مدهشة من المربعات لأننا عندما نحسب مساحاتها نجد أنها على التوالي:

16 و 1156 و 111556 و 11115556 و 1111155556 و .....

هناك سلسلة أخرى من المربعات التي تملك هذه البنية المدهشة نفسها.

ما هي هذه السلسلة من المربعات؟

المسألة السابقة مع حلها:

الجمع يساوي الجداء؟؟!!

نعرف أن 2+2 = 2 × 2

وأن 1 + 2 + 3 = 1× 2 × 3

أوجد 2003 عدداً صحيحاً لا يساوون الصفر، إنما ليسوا مختلفين بالضرورة، حيث يكون مجموع هذه الأعداد

الـ 2003 يساوي حاصل جدائها.

حل المسألة ومسألة جديدة

الحل البسيط لهذه المسألة هو على الشكل التالي:

12001 * 2 * 2003 = (1 * 2001) + 2 + 2003

حيث (1 * 2001) يمثل مجموع 2001 حد يساوي كل منها الواحد. ويمكن تعميم هذا الجواب على أي عدد n أعلى أو يساوي العدد 2 :

1n-2 * 2 * n = (n-2) +2 + n

وهناك أجوبة أخرى على هذه المسألة يمكن أن تعطي بالأشكال التالية:

12001 * 3 * 1002 = (1 * 2001) + 3 + 1002

12001 * 8 * 287 = (1 * 2001) + 8 + 287

12001 * 12 * 183 = (1 * 2001) + 12 + 183

12001 * 14 * 155 = (1 * 2001) + 14 + 155

12001 * 15 * 144 = (1 * 2001) + 15 + 144

12001 * 23 * 92 = (1 * 2001) + 23 + 92

12001 * 27 * 78 = (1 * 2001) + 27 + 78

وهذه الحلول كلها من الشكل:

1n-2 * p * = (n-2) + p +

حيث p-1 قاسم لـ n+p-2 (أي بمعنى آخر حيث p-1 هو قاسم لـ n-1).

ولكن هناك حلول أخرى!!! مثلاً:

12000 * 2 * 3 * 401 = (1 * 2000) + 2 + 3 + 401

لهذا نطرح مسألة الشهر الجديدة على النحو التالي:

كم طريقة توجد للعثور على 2003 من الأعداد الصحيحة الموجبة التي يساوي مجموعها حاصل جدائها؟

فيما يلي بعض عناصر الحل:

* n-3 حداً تساوي الواحد، وحد يساوي "2"، وحدان آخران من الشكل p و n+p-1/2p-1 حيث 2p-1 هو قاسم لـ 2n-1.

بعض الأمثلة من أجل n = 2003 :

2 و 668، 3 و 401، 5 و 223، 8 و 134.

* وبشكل أعم، n-3 حداً تساوي الواحد، وحد يساوي "k"، وحدان آخران من الشكل

p و n+p-k-3/kp-1 حيث kp-1 هو قاسم لـ n+p-k-3