أ) الدالة الأسية

هي أي دالة من النوع :



حيث أن a عدد موجب قطعا و يسمى الأساس
و حيث أن x عدد حقيقي و يسمى الأس


إذا كان الأساس a أقل من واحد فالدالة تناقصية
إذا كان الأساس a أكبر من واحد فالدالة تزايدية
إذا كان الأساس a يساوي واحد فالدالة عبارة عن خط مستقيم موازي للمحور x


يكون رسم الدالة بهذا الشكل



عندما يكون الأساس أكبر قطعا من الواحد

تكاد تكون الدالة الأسية أفقية عند القيم السلبية للأس
و تساوي 1 عندما تساوي قيمة الأس x الصفر
ثم تتزايد بسرعة في القيم الإيجابية للأس



ب) الدالة اللوغاريتمية

// تذكير باللوغاريتم :

فكرة اللوغاريتم هي العملية العكسية للرفع (رفع رقم لأس) .
على سبيل المثال رفع الرقم 2 للأس 3 هو 8 ، لأن الـ 8 تنتج عن ضرب 2 بنفسها 3 مرات أي :

وبالتالي تكون العملية العكسية للرفع هي :

لوغاريتم الـ 8 بالنسبة للأساس 2 هي 3 أي :
log2 8 = 3.


الدالة اللوغاريتمية تكتب بهذا الشكل (مع ملاحظة أن اتجاه القراءة يظهر أن الطرفين معكوسين) :
Y هي لوغاريتم X للأساس b و إذا لم يكتب فالأساس 10 .


و للتذكير أيضاً فإن اللوغاريتمات تنقسم إلى نوعين :

• لوغريتمات عادية (عشرية) ، تستخدم العدد 10 كأساس ، و علامتها في الآلة الحاسبة log ، و تكتب بهذه الصيغ أو أو

• لوغريتمات طبيعة، بحيث تستخدم الرقم 2.72 في هذه العملية كأساس و هو ما يسمى بالعدد النيبيري e ، و علامتها في الآلة الحاسبة هي ln ، و يرمز لها أيضاً بـ Log (( عدم الخلط مع log والتي ترمز لدالة اللوغاريتم العشري))

انتهى التذكير //


الدالة اللوغاريتمية ممكن تأخذ أشكال هكذا :

قوانين اللوغاريتمات (العمليات الجبرية)

إذا كان كل من X , Y , b أعداد حقيقية موجبة ، وكان أساس اللوغاريتم b <> 1 فإن :

1) لوغاريتم ضرب عددين x.y هو حاصل جمع لوغاريتم كل واحد منهما على حدة :



مثال :


حللنا المقدار 243 إلى 9 * 27
ثم استخرجنا لوغاريتم كل واحد منهما على حدة
ثم جمعنا ناتج لوغاريتم كل واحد منها = 5



2 ) لوغاريتم قسمة عددين هو حاصل طرح لوغاريتم كل واحد منها على حدة :



مثال :




3) لوغاريتم مقدار مرفوع للأس p هو حاصل ضرب هذا الأس في لوغاريتم المقدار بدون أس (يعني نشيل الأس p و نطلعه برا الحسبة و بعدين نضربه بناتج اللوغاريتم) :



مثال :





4) لوغاريتم مقدار مرفوع للأس x و لكن أساس اللوغاريتم مطابق للمقدار ، فإن الناتج هو x





5) لوغاريتم العدد 1 للأساس b هو صفر



لأن أي عدد مرفوع للأس صفر الناتج هو 1


تذكر أن اللوغاريتم هو عكس عملية الرفع للقوة (للأس)


6) لوغاريتم العدد b للأساس b هو 1



لأن أي عدد مرفوع للأس 1 هو نفس العدد



تذكر أن اللوغاريتم هو عكس عملية الرفع للقوة (للأس)



يتبع بإذن الله .... الدوال المثلثية